ln(x) được định nghĩa là diện tích dưới đường cong f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={1 \over x}} từ 1 đến x.

ln(x) được định nghĩa chính là diện tích dưới đường cong f (x) = 1 x {\displaystyle {1 \over x}} từ 1 đến x, gần giống như tích phân.

ln ⁡ ( a ) = ∫ 1 a 1 x d x . {\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}

Điều này định nghĩa một logarit vì nó đáp ứng các đặc tính cơ bản của một logarit:

ln ⁡ ( a b ) = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) {\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!}

Điều này có thể được chứng minh bằng cách cho phép: t = x a {\displaystyle t={\tfrac {x}{a}}} như sau:

ln ⁡ ( a b ) = ∫ 1 a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ a a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ 1 b 1 t d t = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) {\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)}

Số e sau đó được định nghĩa là số thực duy nhất để ln(a) = 1.

Ngoài ra, nếu hàm số mũ được định nghĩa bằng cách sử dụng chuỗi vô hạn, thì logarit tự nhiên được định nghĩa là hàm ngược của nó, tức ln là hàm số sao cho e ln ⁡ ( x ) = x {\displaystyle e^{\ln(x)}=x\!} . Vì phạm vi của hàm mũ trên những đối số thực là tất cả các số thực dương và vì hàm số mũ là hàm luôn tăng, nên hàm log được xác định cho tất cả số dương x.